Biến đổi tương đương:

\(\Leftrightarrow4x^2+4y^2+4z^2\ge2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz+2zx\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

A no thơ quay nhưng lại không hay:P(Another way)

\(BĐT\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\) (biến đổi tương đương thôi)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2+\frac{1}{4}\left(x+y-2z\right)^2\ge0\) (true)

Đẳng thức xảy ra khi x =y = z

P/s: cách này làm màu thôi :D

Thực ra mấy dạng bậc 2 kiểu này theo em thì dùng công thức \(at^2+bt+c=a\left(t+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}\) (bằng cách đưa về đa thức biến t)

Chi tiết như sau:(sai chỗ nào bl cho em biết cái nha:D)

BĐT \(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

\(\Leftrightarrow x^2-x\left(y+z\right)+y^2+z^2-yz\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{y+z}{2}\right)^2+\frac{4\left(y^2+z^2-yz\right)-\left(y+z\right)^2}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(2x-y-z\right)^2+\frac{3}{4}\left(y-z\right)^2\ge0\)

BĐT \(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)(đúng)

Đẳng thức xảy ra khi x =y=z

\(BĐT\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{y+z}+1\right)+\left(\dfrac{y}{x+z}+1\right)+\left(\dfrac{z}{x+y}+1\right)\ge\dfrac{3}{2}+3=\dfrac{9}{2}\\ \Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge9\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy:

\(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)

Nhân vế theo vế 2 BĐT ta được

\(\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\ge3\cdot3\sqrt[3]{1}=9\)

Do đó \(\left(1\right)\) luôn đúng

Vậy ta được đpcm

Phải có thêm dữ kiện x,y,z > 0 nữa nhé.

Áp dụng BĐT C - S dạng Engel, ta có:

Cycma(x/(y + z)) = cycma(x^2/(xy + xz)) >= cycma(x)^2/(2cycma(xy)) >= cycma(x)^2/((2cycma(x)^2)/3) = 3/2 (đpcm)

đây là BĐT Nesbit cho 3 số thực dương nên thiếu điều kiện x,y,z\(\in R\)*

a) \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)

b) \(x^3+y^3\ge\dfrac{\left(x+y\right)^3}{4}\)

\(\Leftrightarrow4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3\Leftrightarrow3x^3+3y^3\ge3x^2y+3xy^2\)

\(\Leftrightarrow3x^2\left(x-y\right)-3y^2\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\Leftrightarrow3\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\left(đúng\right)\)

a: Ta có: \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-x^2-2xy-y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3-2x-2y-2z\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(z^2-2z+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)

cảm ơn bạn nhiều

Ta có : \(x^2+1\ge2x\) (1)

\(y^2+1\ge2y\) (2)

\(z^2+1\ge2z\) (3)

Cộng các vế của  (1) (2) (3) ta được :

\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

\(x^2+y^2>=2xy\Rightarrow\frac{x}{x^2+y^2}< =\frac{x}{2xy}=\frac{1}{2y}\)(1)

\(y^2+z^2>=2yz\Rightarrow\frac{y}{y^2+z^2}< =\frac{y}{2yz}=\frac{1}{2z}\)(2)

\(x^2+z^2>=2xz\Rightarrow\frac{z}{x^2+z^2}< =\frac{z}{2xz}=\frac{1}{2x}\)(3)

từ (1) (2) (3)\(\Rightarrow\frac{x}{x^2+y^2}+\frac{y}{y^2+z^2}+\frac{z}{x^2+z^2}< =\frac{1}{2y}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2x}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)(đpcm)

bài này phải x;y;z dương

Đáp án D